Model Ekonomi Sumber Daya Tidak Terbarukan

Pendahuluan
Sumber daya alam tidak dapat terbarukan atau sering juga disebut dengan sumber daya terhabiskan (depletable) adalah sumber daya alam yang tidak memiliki kemampuan regenerasi secara biologis. Selain itu, sumber daya alam ini dibentuk melalui proses geologi yang memerlukan waktu sangat lama untuk dapat dijadikan sebagai sumber daya alam yang siap diolah atau siap pakai. Tambang emas dan tambang minyak misalnya, memerlukan waktu ribuan bahkan jutaan tahun untuk terbentuk karena ketidakmampuan sumber daya tersebut untuk melakukan regenerasi. Sumber daya alam ini sering kita sebut juga sumber daya alam yang memiliki stok yang tetap. Sifat-sifat tersebut di atas menyebabkan masalah eksploitasi sumber daya alam tidak terbarukan (non-renewable) akan sangat berbeda dengan ekstraksi sumber daya terbarukan (renewable). Pengusaha pertambangan atau perminyakan, misalnya tidak saja harus memutuskan kombinasi yang tepat dari berbagai faktor produksi untuk menentukan produksi yang optimal, namun harus pula memikirkan seberapa cepat stok harus diekstraksi dengan kendala stok yang terbatas. Beberapa perbedaan pokok antara pengelolaan sumber daya alam dan model ekonomi konvensional misalnya antara lain:
Dalam model ekonomi kompetitif, maksimisasi keuntungan ditentukan pada saat penerimaan marginal (p) sama dengan biaya marginal (BM) atau p = BM. Dalam model sumber daya alam tidak terbarukan, stok yang tidak terekstraksi memiliki nilai yang dicerminkan dari biaya oportunitasnya. Dengan demikian, ekstraksi optimal sumber daya alam tidak hanya ditentukan oleh harga dan biaya marginal tapi juga oleh biaya oportunitas.
Ekstraksi sumber daya alam merupakan masalah investasi karena nilai rente sumber daya yang diperoleh terkait oleh waktu, sehingga penentuan rente atau keuntungan (benefit) tidak saja dihitung untuk masa kini tapi juga sepanjang waktu.
Berbeda dengan ekstraksi produk lainnya, ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan menghadapi kendala stok. Artinya, karena tidak adanya proses regenerasi, maka pada waktu tertentu (terminal period), stok tersebut akan habis.
Dari beberapa ciri di atas terlihat bahwa ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan berkaitan erat dengan aspek intertemporal di mana peranan waktu sangat krusial. Dalam bab ini akan dibahas bagaimana ekstraksi yang optimal dapat dilakukan terhadap sumber daya alam tidak terbarukan tersebut, termasuk di dalamnya bagaimana menentukan alur ekstraksi yang efisien dan berapa besar output optimalnya. Sebagai basis dari teori ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan secara optimal adalah model Hotelling yang dikembangkan oleh Harold Hotelling pada tahun 1931. Mengingat begitu pentingnya model Hotelling tersebut, di bawah ini akan mulai kita bahas model Hotelling dalam kerangka kerja (framework) waktu yang sederhana.

Dasar-Dasar Model Hotelling
Dalam bagian ini, model Hotelling akan diturunkan untuk model dua periode terlebih dahulu dengan struktur pasar yang kompetitif atau bersaing sempurna. Model untuk multiperiode akan diturunkan pada bagian berikutnya. Untuk memahami model Hotelling, terlebih dahulu asumsi-asumsi sederhana akan digunakan dalam pendekatan ini. Pertama, diasumsikan bahwa harga per satuan output dari sumber daya konstan, artinya kurva permintaan dari sumber daya, bersifat elastik sempurna. Kedua biaya ekstrasi sumber daya diasumsikan hanya merupakan fungsi dari output. Dengan kedua asumsi dasar di atas, model Hotelling dapat diturunkan sebagai berikut.
Dimisalkan bahwa harga per satuan output pada periode 0 dan 1 masing-masing adalah p0 dan p1. Jumlah ekstraksi pada kedua periode ditulis sebagai q0 dan q1. Dimisalkan pula bahwa biaya ekstraksi berkorelasi linier terhadap jumlah yang diekstraksi, atau:

Ct = cqt ∀t = 1,2 (4.1)

Dimana c adalah biaya per unit ekstraksi. Sehingga manfaat dari ekstraksi sumber daya alam dapat ditulis sebagai:

π_t=p_t q_t-〖cq〗_t ∀t=1,2 (4.2)

Karena sifat sumber daya alam tidak terbarukan memiliki kendala stok yang terbatas, kendala tersebut dapat ditulis sebagai:

q0 + q1 = S ̅ (4.3)

yang artinya adalah bahwa jumlah yang diekstraksi pada dua periode tersebut harus sama dengan stok yang tersedia (S ̅).
Sebagaimana dikemukakan pada bagian awalm bahwa ekstraksi sumber daya alam menyangkut aspek intertemporal. Karena nilai manfaat ekonomi periode 0 dan period 1 tidak sama, manfaat pada periode 1 harus didiskon dengan menggunakan discount rate, dengan demikian total manfaat ekonomi ekstraksi sumber daya pada dua periode dapat ditulis:

PV=π_0+1/((1+δ) ) π_1 (4.4)

Dimana PV (present value) menggambarkan manfaat ekonomi dalam dua periode dan δ adalah discount rate yang menggambarkan biaya oportunitas dari kapital.
Dengan beberapa asumsi dan penyederhanaan di atas, penentuan ekstraksi yang optimal dapat ditentukan dengan:

maxPV=π_0+1/((1+δ) ) π_1 (4.5)

dengan kendala:

q0 + q1 = S ̅ (4.6)

Pemecahan masalah di atas dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi Lagrangian yang sudah biasa digunakan dalam pendekatan ekonomi. Fungsi Lagrangian dari persamaan di atas ditulis:

L=π_0+1/((1+δ) ) π_1+λ(S ̅-q_0-q_1 )
=(p_0 q_0-〖cq〗_0 )+1/((1+δ) ) (p_1 q_1-〖cq〗_1 )+λ(S ̅-q_0-q_1 ) (4.7)

dimana λ merupakan pengganda Lagrangian (Lagrange multiplier). Karena variabel pilihan dalam hal ini adalah p_0 〖 dan q〗_1, syarat keharusan (necessary condition) dari persamaan (4.7) adalah:

∂L/(∂q_0 )=(p_0- c)-λ=0
∂L/(∂q_1 )=1/((1+δ) ) (p_1- c)-λ=0 (4.8)

Karena kedua sisi kanan dari persamaan (4.8) sama dengan nol, dengan penyederhanaan aljabar dihasilkan:

(p_0-c)-λ=1/((1+δ) ) (p_1-c)-λ
(p_0-c)=1/((1+δ) ) (p_1-c) (4.9)

Persamaan di atas dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi:
((p_1-c)-(p_0-c))/((p_0-c) )=δ (4.10)

Persamaan (4.10) merupakan persamaan dasar Hotelling untuk sumber daya alam tidak terbarukan. Notasi di sebelah kiri tanda sama dengan menunjukkan laju pertumbuhan proporsional dari manfaat bersih sumber daya, sementara notasi di sebelah kanan tanda sama dengan menunjukkan biaya oportunitas dari kapital atau aset yang sering ditunjukkan dnegan tingkat suku bunga. Jadi, jika suku bunga adalah 15%, hukum Hotelling mengatakan bahwa ekstraksi yang efisien dan optimal mengharuskan manfaat bersih dari sumber daya harus tumbuh secara proporsional sebesar 15% setiap tahun. Dengan kata lain, agar pemilik sumber daya “indifferent” antara mengekstrak kini atau di masa yang akan datang, manfaat yang diperoleh kini (capital gain) harus sama dengan discount rate. Jika hal tersebut tidak dipenuhi, akan terjadi proses realokasi sumber daya antarperiode untuk meningkatkan manfaat ekonomi. Hal ini bisa dimengerti kalau kita melihat dengan teliti persamaan (4.9). persamaan tersebut menunjukkan bahwa pemilik sumber daya alam harus menghadapi pilihan apakah akan mengekstrasi sumber daya sekarang dan menerima manfaat bersih sebesar (p0 – c) atau menunggu untuk mengekstraksi pada periode berikutnya dan menerima manfaat sebesar (p1 – c). Pemilik sumber daya akan indifferent jika manfaat yang diperoleh sekarang sama dengan present value dari manfaat periode mendatang. Jika ada kecenderungan bagi pemilik untuk menunggu ekstraksi pad aperiode mendatang, produksi saat ini akan berkurang dan harga saat ini akan naik. Dengan demikian, pemilik akan lebih memperoleh keuntungan untuk menjual sekarang dan menyimpan hasil penjualan, misalnya di Bank, dengan memperoleh bunga sebesar δ persen.
Bagaimana dengan interprestasi dari λ? Kalau kita melihat kembali ke persamaan (4.8), dapat dilihat bahwa λ = (p0 – c) atau λ tidak lain adalah rente marjinal yang merupakan selisih antara harga dan biaya marjinal.
Sebagaimana dikemukakan di atas, penurunan model Hotelling dengan kurva permintaan elastis tidak mengubah prinsip dasar model Hotelling. Jika dimisalkan bahwa kurva permintaan pada periode 0 dari periode 1 diketahui sebagai:

po = α – βq0
p1 = α – βq1 (4.11)

kurva permintaan ini digambarkan pada tampilan berikut:

Bagian yang diarsir Tampilan 4.1 menjunjukkan total manfaat yang diperoleh konsumen dari mengkonsumsi sumber daya pada periode t. Dari sisi sosial, daerah tersebut menunjukkan manfaat kotor (gross benefit) yang diperoleh dari ekstraksi dan konsumsi sumber daya tidak terbarukan, atau secara matematis ditulis sebagai:
π(q_t )=∫_0^(q_t)▒(α-βq)dq
= αq_t-β/2 q_t^2 (4.12)
Dengan demikian, manfaat ekonomi bersih yang diperoleh pada kedua periode adalah:
π_0=(α-β/2 q_0 ) q_0-cq_0
π_1=1/((1+δ) ) (α-β/2 q_1 ) q_1-cq_1 (4.13)

Sehingga fungsi Lagrangian berubah menjadi:

L=(α-β/2 q_0 ) q_0-cq_0+1/((1+δ) ) (α-β/2 q_1 ) q_1
-cq_1+λ(S ̅-q_0-q_1 ) (4.14)

Syarat keharusan dari persamaan di atas adalah:

∂L/(∂q_0 )=α-βq_0-c-λ=0 (4.15)

∂L/(∂q_1 )=1/((1+δ) ) [(α-βq_1 )-c]-λ=0 (4.16)

∂L/(∂q_0 )=S ̅-q_0-q_1=0 (4.17)

Karena sisi kanan persamaan (4.15) dan persamaan (4.16) sama dengan nol, kedua persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi:

α-βq_0-c-λ=(α-βq_1-c)/((1+δ) )-λ
α-βq_0-c=(α-βq_1-c)/((1+δ) ) (4.18)

Dengan menggunakan persamaan (4.11), persamaan (4.18) diatas dapat disederhanakan menjadi:

p_0-c=(p_1-c)/((1+δ) ) (4.19)

yang akan menghasilkan Golden Rule yang sama seperti yang telah diturunkan pada persamaan (4.10) sebelumnya.
Untuk kasus biaya marjinal yang konstan seperti contoh di atas, persamaan (4.19) dapat disederhanakan menjadi:

p_1-p_0=δ(p_0-c) (4.20)

sehingga berimplikasi bahwa untuk (p0 – c) dan δ yang positif, (p1 – p0) juga harus positif, yang berarti bahwa p1 > p0. Hal ini juga berarti bahwa untuk kurva permintaan yang elastis akan berimplikasi q1 < q0. Kaidah ini berlaku untuk setiap periode waktu yang berdekatan, yang artinya adalah bahwa ekstraksi optimal membutuhkan harga yang harus meningkat sepanjang waktu, sementara jumlah yang diekstraksi menurun sepanjang waktu. Contoh Numerik
Dimisalkan bahwa stok tambang emas diketahui sebesar 5.000 ton.
Dimisalkan pula bahwa kurva permintaan pada periode 0 dan periode 1 bersifat stationer (sama) sebesar pt = 1000 – 0.1 qt, dan biaya ekstraksi per ton emas sebesar Rp. 50 juta per ton. Tingkat suku bunga diasumsikan sebesar 10%. Dengan beberapa asumsi diatas, maka rente marjinal (persamaan (4.18)) pada periode nol diperoleh:

(1000 – 0,1 q0) – 50 = 950 – 0,1 q0

sementara pada periode 1 sebesar:

(950 – 0,1 qt) / (1.1) = 863.636 – 0.091 qt


Persamaan kendala dari contoh di atas diperoleh:

q0 + q1 = 5000 atau q1 = 5000 – q0

Persamaan kendala ini dapat disubstitusikan untuk memecahkan jumlah ekstraksi optimal pada periode 0 dan periode 1, yakni sebesar:

950 – 0.1 q0 = 863.636 – 0.0909 (500 – q0)

atau q0 = 2833.33 dan q1 = 2166.667. dengan diketahuinya nilai ekstraksi pada dua periode ini, maka harga untuk setiap periode juga dapat diketahui dengan mensubstitusikan kembali hasil q0 dan q1 ke persamaan (4.11), sehingga diperoleh p0 = 716.667 dan p1 = 783.333.
Dari hasil perhitungan di atas dapat dilihat bahwa dalam model dasar Hotelling, output pada periode kedua lebih kecil daripada output pada periode pertama. Di lain pihak harga nominal output pada periode kedua lebih tinggi daripada harga output pada periode pertama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada model dasar Hotelling, output menurun sepanjang waktu, sementara harga nominal meningkat sepanjang waktu.
Dari contoh numerik ini, kita juga bisa membuktikan Hukum Hotelling (Golden Rule) mengenai ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan sebagaimana dituliskan pada persamaan (4.10). dengan mensubtitusikan nilai-nilai yang sudah diperoleh ke dalam persama (4.10), maka diperoleh:

((783.333-50)-(716.667-50))/((716.667-50) )=0.1

Nilai tersebut di atas jika dikonversikan ke dalam persentase, sama dengan nilai suku bunga aset yang kita gunakan pada contoh ini. Hal ini membuktikan bahwa nilai rente sumber daya tidak terbarukan (resource rent) harus tumbuh setara dengan tingkat suku bunga untuk menghasilkan ekstraksi yang optimal sepanjang waktu.
Tabel 4.1 berikut ini menyajikan pengaruh perubahan nilai suku bunga (discount rate) terhadap ekstraksi optimal. Kolom A dari Tabel 4.1 menunjukkan variasi nilai discount rate, sementara kolom B dihitung berdasarkan formula:

q_0=(δ(α-c)+βS ̅)/β(2+δ)

sementara kolom C dihitung berdasarkan formula kendala sumber daya (persamaan 4.6). kolom D dan E dihitung berdasarkan kurva permintaan, sementara kolom F merupakan pembuktian bahwa Hukum Hotelling berlaku, di mana hasil perhitungan pada kolom tersebut sama dengan nilai discount rate pada kolom A. Dari Tanel 4.1, terlihat bahwa, semakin tinggai discount rate semakin cepat harga meningat (p1) dan semakin menurun jumlah yang diekstraksi (q1). Hal ini merupakan konsekuensi dari hukum Hotelling yang tercermin dalam persamaan (4.19) dan persamaan (4.20).

Tabel 4.1 Pengaruh Perubahan Discount Rate Terhadap Ekstraksi Optimal
δ

(A) Q0

(B) Q1

(C) P0

(D) P1

(E) ((p_1-c_1 )-(p_0-c_1 ))/((p_0-c_0 ) )
(F)
0.05
0.08
0.10
0.15
0.20 2670.73
2769.23
2833.33
2988.37
3136.36 2329.27
2230.77
2166.67
2011.63
1863.64 732.93
723.08
716.67
701.16
686.36 767.07
776.92
783.33
798.84
813.64 0.050
0.080
0.100
0.150
0.200

Ekstraksi Multiperiode
Prinsip-prinsip molde dasar Hotelling untuk dua periode di atas pada dasarnya dapat dikembangkan lebih jauh untuk ekstraksi multiperiode. Hasil akhir dari pengembangan multiperiode ini juga akan menghasilkan Golden Rule yang secara prinsip sama dengan yang telah diturunkan sebelumnya. Untuk menurunkan model multiperiode ini, beberapa notasi sebelumnya disederhanakan untuk memudahkan penurunan matematis. Rente ekonomi pada periode pada persamaan (4.2) disederhanakan menjadi π_1 (q_t ) atau diartikan sebagai rente ekonomi pad aperiode t merupakan fungsi ekstraksi pada periode t. Selain itu, discount factor juga disederhanakan menjadi 1/(1+δ)^t =p^t.
Dengan notasi di atas, nilai present value dari rente ekonomi sepanjang waktu yang dapat ditulis sebagai:

PV=π_0+pπ_1 (q_1 )+p^2 π_2 (q_2 )+p^3 π_3 (q_3 )…p^t π_T (q_t )
= ∑_(t=0)^T▒〖p^t π_t (q_t ) 〗 (4.21)

sementara kendala ketersediaan sumber daya dapat ditulis sebagai:

S ̅=q_0+q_1+q_2+⋯q_T
= ∑_(t=0)^T▒q_t (4.22)

sehingga persamaan Lagrangian dari model multiperiode tersebut ditulis:

L=∑_(t=0)^T▒〖p^t π_t (q_t )+λ[S ̅-∑_(t=0)^T▒q_t ] 〗 (4.23)

Syarat keharusan dari fungsi Lagrangian di atas adalah:

∂L/(∂q_t )=p^t ∂π/(∂q_t )-λ=0
∂L/∂λ=S ̅-∑_(t=0)^T▒〖q_t=0〗 (4.24)

Persamaan (4.25) berlaku untuk t = 0,1,...,T, sehingga

∂π(q_0 )/(∂q_0 )=p ∂π(q_1 )/(∂q_1 )=p^2 ∂π(q_2 )/(∂q_2 )=⋯=p^T ∂π(q_T )/(∂q_T )=λ (4.25)

Persamaan (4.25) menyatakan bahwa Present Value dari rente ekonomi sumber daya tidak terbarukan akan menjadi maksimum jika ekstraksi diatur sedemikian rupa sehingga rente marjinal yang didiskon (discounted marginal rent) sama untuk setiap periode. Secara intuisi hal ini mudah dipahami, sebab jika discounted marginal rent tidak sama untuk setiap periode, maka manfaat ekonomi total bisa ditingkatkan dengan menggeser ekstraksi dari periode dengan discounted marginal rent yang rendah ke periode dengan discounted marginal rent yang tinggi. Akibat pergeseran ekstraksi ini, rente ekonomi yang diperoleh tidak optimal.
Kalau kita pertimbangkan dua periode waktu yang berdekatan antara t dan t + 1, maka kita peroleh p^t ∂π(q_t )/(∂q_t )=p^(t+1) ∂π(q_(t+1) )/(∂q_(t+1) ) . Atau, jika kita kembalikan rumus discount factor ke bentuk semula, akan diperoleh:

∂π(q_(t+1) )/(∂q_(t+1) )=(1+δ) ∂π(q_t )/(∂q_t ) (4.26)

Jika kita cermati kembali persamaan (4.2), maka ∂π(q_t )/(∂q_t )=p_t-c, sehingga persamaan diatas dapat disederhanakan menjadi:

(p_(t+1)-c)=(1+δ)(p_t-c) (4.27)

di mana dengan penyederhanaan aljabar akan menjadi

((p_(t+1)-c)-(p_t-c))/((p_t-c) )=δ (4.28)

Persamaan (4.28) identik dengan persamaan Golden Rule (4.10) untuk ekstraksi multiperiode. Persamaan (4.28) secara lebih umum dapat ditulis menjadi:

((p_(t+1)-BM_(t+1) )-(p_t-BM_t ))/((p_t-BM_t ) )=δ (4.29)

dimana BMt adalah biaya marjinal pada periode t.
Sebagaimana dikemukakan pada bagian awal, ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan pada pasar yang kompetitif tidak hanya ditentukan oleh harga dan biaya marjinal ekstraksi tetapi juga oleh biaya oportunitas. Hal ini bisa dibuktikan dengan memodifikasi persamaan (4.29) menjadi:

p_t=BM_t+((p_(t+1)-BM_(t+1) ))/((1+δ) ) (4.30)
Bagian kedua dari persamaan di sebelah kanan menunjukkan biaya oportunitas atau biaya marjinal pengguna (marginal user cost) yang menunjukkan biaya korbanan jika ekstraksi ditunda ke periode berikutnya.

Alur Ekstraksi
Hukum Hotelling yang telah kita lihat sebelumnya hanyalah menjawab salah satu pertanyaan mendasar dalam pengelolaan sumber daya alam tidak terbarukan, yakni seberapa besar tingkat ekstraksi yang menghasilkan manfaat bersih yang optimal. Pertanyaan lain yang muncul dalam pengelolaan sumber daya ini adalah seberapa cepat stok harud diekstraksi dengan kendala stok yang tetap dan terbatas. Dalam hal ini, kita ingin mengetahui alur ekstraksi sumber daya tersebut. Dalam hal ini, kita ingin mengetahui alur ekstraksi sumber daya tersebut. Untuk mengetahui seberapa cepat laju ekstraksi ini, maka asumsi harga yang konstan yang kita gunakan sebelumnya diganti dengan harga yang nonkonstan, yakni harga yang berubah terhadap waktu atau p = f(t) yang kita sebut sebagai alur harga atau prince path. Demikian juga, kurva permintaan terhadap sumber daya alam kita asumsikan memiliki kemiringan negatif (downward sloping). Dengan dua asumsi dasar di atas, alur ekstraksi sumber daya dalam situasi pasar yang kompetitif dapat dilihat pada Tampilan 4.3 berikut.
Panel (a) dan (b) pada Tampilan 4.3 masing-masing menggambarkan alur harga (prince path) dan kurva permintaan sumber daya. Panel (c) adalah kurva cermin yang akan memproyeksi titik-titik yang diperoleh dari panel (a) dan (b). Dengan menggunakan ketiga kurva tersebut, alur ekstraksi yang optimal dapat diperoleh dengan memplotkan titik-titik yang diperoleh pada panel (a) dan (b). Misalnya, pada T0, alur harga berada sebesar P0. Dengan tingkat harga sebesar P0 tersebut, jumlah yang diminta di pasar sumber daya adalah sebesar q0. Besaran ekstraksi ini kemudian dicerminkan ke kurva (c) untuk memperoleh titik awal alur ekstraksi. Proses yang sama dilakukan untuk T1, T2 sampai Takhir. Kombinasi titik-titik perpotongan antara waktu ekstraksi dan jumlah yang diekstraksi ini kemudian melahirkan alur ekstraksi optimal sebagaimana digambarkan pada panel (d).



Ekstraksi Sumber Daya pada Struktur Pasar Monopoli
Ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan (non-renewable) sering juga dicirikan oleh struktur pasar yang bersifat monopoli. Hal ini terjadi karena kelebihan teknologi suatu industri dibandingkan dengan industri lain, atau karena menyangkut industri strategis yang harus dikuasai oleh negara. Industri minyak di Indonesia, misalnya masih dimonopoli negara melalui badan usaha milik negara. Berbeda dengan struktur pasar yang kompetitif, pada struktur pasar yang monopolistik, harga pasar (market price) bersifat endogen (ditentukan dari maksimisasi keuntungan), sehingga hukum Hotelling dan laju ekstraksi sedikit berbeda dengan industri yang bersifat kompetitif.
Jika diasumsikan bahwa penerimaan dari ekstraksi sumber daya alam oleh monopolis adalah:

π_m=p(q)q-c(q) (4.31)

dimana p(q) adalah fungsi permintaan monopolis, dan c(q) adalah struktur biaya, maka syarat keharusan dari maksimisasi keuntungan bagi monopolis dapat ditulis sebagai:

(∂π_m)/∂q=[p^1 (q)q+p(q)]-c^1 (q)=0 (4.32)

dimana [p^1 (q)q+p(q)] adalah penerimaan marjinal atau PM dan c1 (q) menunjukkan biaya marginal atau BM. Dengan mengikuti proses yang sama dengan persamaan (4.21) sampai (4.26), maka hukum Hotelling untuk ekstraksi dalam kondisi pasar monopoli dapat ditulis sebagai berikut:

([PM(q_(t+1) )-BM(q_(t+1) )]-[PM(q_t )-BM(q_t )])/(PM(q_t )-BM(q_t ) )=δ (4.33)

Persamaan (4.33) identik dengan persamaan (4.29) hanya harga yang konstan diganti dengan penerimaan marjinal. Lalu bagaimana kalau kita bandingkan ekstraksi optimal sumber daya dalam situasi struktur padar yang berbeda tersebut? Untuk menjawab pertanyaan ini akan lebih mudah jika kita asumsikan dulu bahwa biaya ekstraksi adalah konstan sehingga biaya marjinal dalam kedua struktur pasar sama dengan nol (BM = 0), namun tetap kita asumsikan bahwa kurva permintaan untuk kedua struktur pasar tersebut bersifat linier. Dengan asumsi biaya konstan tersebut, maka untuk pasar yang kompetitif persamaan (4.26) dapat ditulis secara lebih umum dengan:

p_t=(1+δ)^t p_0 (4.34)

Karena sumber daya tersebut tidak dapat terbarukan, pada akhir periode ekstraksi (t = T) jumlah yang diekstraksi adalah (qT) = 0. Jika kita lihat kembali Tampilan 4.1, pada q = 0 pasar akan menghadapi jumlah harga yang maksimum yang disebut sebagai “choke-off price” sebesar α, sehingga pada t = T persamaan (4.34) menjadi:
p_T=α=(1+δ)^T p_0 (4.35)

Dengan demikian, harga pada awal periode (p0) dapat dipecahkan menjadi p0 = α (1+ δ)-T, sehingga kalau kita substitusikan kembali ke persamaan (4.35) akan diperoleh:

p_t=α(1+δ)^(t-T) (4.36)

yang merupakan persamaan alur harga (prince path) sebagaimana digambarkan pada Tampilan 4.3. kita juga bahwa kurva permintaan sumber daya pada periode t bersifat linier atau pt = α – βqt, sehingga dengan mensubstitusikan kurva permintaan ini ke dalam persamaan (4.36) akan diperoleh:

α-βq_t=α(1+δ)^(t-T) (4.37)

Persamaan di atas dapat dipecahkan untuk menentukan jumlah ekstraksi yang optimal pada pasar kompetitif yakni sebesar:

q_t^c=(α/β)[(1+δ)^(t-T) ] (4.38)

Pada situasi pasar yang monopolis dengan kurva permintaan yang sama, maka penerimaan marjinal PMt = α - 2βqt, sehingga persamaan (4.34) untuk kasus monopoli dapat ditulis sebagai:

PM_t=(1+δ)^t PM_0 (4.39)

dan pada saat ekstraksi berhenti (q=0) pada t = T, maka PMT = pT = α, sehingga analog dengan persamaan (4.35), penerimaan marjinal pada awal periode atau PM0 dapat ditulis menjadi PM0 = α (1+δ)-T, dan dengan prosedur yang sama dengan pasar yang kompetitif, maka persamaan (4.37) dapat dimodifikasi untuk padar yang monopoli menjadi:

α-2βq_t=α(1+δ)^(t-T) (4.40)

Dengan menggunakan persamaan (4.40) di atas, jumlah ekstraksi yang optimal untuk pasar yang monopolis dapat ditentukan sebagai:

q_t^m=(α/2β)[1-(1+δ)^(t-T) ] (4.41)

Jika kita bandingkan dengan pasar yang kompetitif (persamaan (4.38)), dan dengan asumsi bahwa seluruh parameter adalah sama untuk kedua struktur pasar tersebut, ekstraksi yang optimal untuk monopoli menjadi setengah dari pasar yang kompetitif, yang menunjukkan bahwa monopolis lebih “konservatif” dalam hal mengekstrasi sumber daya. Perbandingan kedua struktur pasar tersebut dalam hal ekstraksi dapat digambarkan pada Tampilan 4.4 berikut ini.

Contoh Numerik
Untuk memperoleh gambaran yang lebih nyata mengenai ekstraksi optimal sumber daya tidak terbarukan dengan dua struktur pasar yang berbeda, berikut ini diberikan ilustrasi optimal dan waktu ekstraksi yang optimal dilakukan dengan Solver Excell. Dimisalkan bahwa koefisien berikut berlaku untuk kedua struktur pasar, yaitu α = 10, β = 1, δ = 0.10 dengan stok sumber daya pada kondisi awal sebesar S0 = 100. Tampilan berikut menunjukkan spreadsheet Excell pada kondisi awal di mana nilai qt = 1 merupakan inisiasi untuk Solver Excell.
Pada cell B1 sampai B5 menunjukkan seluruh parameter yang diketahui, dimana cell B4 diisi dengan formula = 1/(1+B3). Cell C9 diisi dengan menuliskan formula sebagai berikut = C8 – B8. Nilai ini kemudian di “copy” untuk cell C10 sampai cell C31. Cell D8 diisi dengan menuliskan formula: = (B$4)^A8* ((B$1-0.5*B$2*B8)*B8). Formula ini menggambarkan rente ekonomi untuk pasar yang kompetitif yang diturunkan dari persamaan (4.12) dan mengalikannya dengan discount factor dari cell B4. Nilai dari cell D8 ini kemudian di “copy” untuk mengisi cell D9 sampao D31. Nilai kumulatif dari cell D8 sampai D31 kemudian ditulis pada cell D33.
Tahap berikutnya adalah menggunakan fasilitas Solver Excell untuk memecahkan nilai optimal dari ekstraksi dengan cara memaksimumkan cell D33 dengan mengubah cell B8 sampai B31 dan menambah kendala non-negatuf pada cell B8 sampai B31 dan cell C8 sampai cell C31. Klik Solve, dan Solver akan melakukan iterasi untuk mencari solusi yang optimal sehingga dihasilkan nilai sebagaimana tertera pada Tampilan Spreadsheet 2.

A B C D
1 a = 10
2 b = 1
3 delta 0,1
4 rho 0,909091
5 S 100
6
7 t qt St Rente
8 0 1 100 9,5
9 1 1 99 8,63636364
10 2 1 98 7,85123967
11 3 1 97 7,13749061
12 4 1 96 6,48862783
13 5 1 95 5,89875257
14 6 1 94 5,36250234
15 7 1 93 4,87500212
16 8 1 92 4,43182011
17 9 1 91 4,02892737
18 10 1 90 3,66266125
19 11 1 89 3,32969205
20 12 1 88 3,02699277
21 13 1 87 2,75181161
22 14 1 86 2,50164692
23 15 1 85 2,27422447
24 16 1 84 2,06747679
25 17 1 83 1,87952435
26 18 1 82 1,7086585
27 19 1 81 1,55332591
28 20 1 80 1,41211447
29 21 1 79 1,28374042
30 22 1 78 1,16703675
31 23 1 77 1,0609425
32
33 Sum 93,890575

Tampilan 4.5 Spreadsheet 1

Dari Spreadsheet 2 dapat dilihat bahwa ekstraksi akan habis pada T = 18 dimulai dengan ekstraksi sebesar 8,25 ton dan nilai optimal ekstraksi diperoleh sebesar Rp. 381 juta.
Sekarang kita bandingkan dengan ekstraksi pada struktur pasar monopoli dimana fungsi keuntungan pada struktur pasar yang monopoli ditulis sebagai πm = αqt – βqt2 yang diperoleh dari mengintegralkan fungsi penerimaan marjinal. Kondisi awal numerik pada struktur pasar monopoli ini dapat dilihat pada Tampilan Spreadsheet 3. Pada kondisi awal cell B8 sampai cell C41 sama dengan kondisi pada pasar yang kompetitif. Yang membedakan kemudian adalah formula pada cell D8 yang diisi dengan rumus = (B$4)^A8*((B$1 – B$2*B8)*B8).
Solver parameter untuk struktur pasar yang monopoli tersebut dapat dilihat pada Tampilan 4.9, dan solusi optimal hasil interasi Solver Excell dapat dilihat pada Tampilan 4.10. sebagaimana terlihat pada Sread sheet 4, ekstraksi pada struktur pasar yang monopoli memerlukan waktu lebih lama dimana ekstraksi baru habis pada T=30, dan dimulai pada tingkat ekstraksi awal yang lebih rendah daripada kondisi kompetitif,


A B C D
1 a = 10
2 b = 1
3 delta 0,1
4 rho 0,909091
5 S 100
6
7 t qt St Rente
8 0 8,245 100,000 48,460
9 1 8,073 91,755 43,767
10 2 7,874 83,682 39,455
11 3 7,661 75,808 35,510
12 4 7,426 68,147 31,888
13 5 7,174 60,722 28,566
14 6 6,891 53,548 25,496
15 7 6,576 46,657 22,650
16 8 6,233 40,081 20,015
17 9 5,860 33,848 17,571
18 10 5,452 27,988 15,290
19 11 4,999 22,536 13,142
20 12 4,497 17,537 11,106
21 13 3,942 13,041 9,168
22 14 3,334 9,099 7,316
23 15 2,671 5,764 5,539
24 16 1,945 3,094 3,822
25 17 1,149 1,149 2,142
26 18 0,000 0,000 0,000
27 19 0,000 0,000 0,000
28 20 0,000 0,000 0,000
29 21 0,000 0,000 0,000
30 22 0,000 0,000 0,000
31 23 0,000 0,000 0,000
32
33 Sum 380,901


Tampilan 4.7. Spreadsheet 2, solusi optimal pasar kompetitif

A B C D
1 a = 10
2 b = 1
3 delta 0,1
4 rho 0,9090909
5 S 100
6
7 t qt St Rente
8 0 1 100.000 9.000
9 1 1 99.000 8.182
10 2 1 98.000 7.438
11 3 1 97.000 6.765
12 4 1 96.000 6.147
13 5 1 95.000 5.588
14 6 1 94.000 5.080
15 7 1 93.000 4.618
16 8 1 92.000 4.199
17 9 1 91.000 3.817
18 10 1 90.000 3.470
19 11 1 89.000 3.154
20 12 1 88.000 2.868
21 13 1 87.000 2.607
22 14 1 86.000 2.370
23 15 1 85.000 2.155
24 16 1 84.000 1.959
25 17 1 83.000 1.781
26 18 1 82.000 1.619
27 19 1 81.000 1.472
28 20 1 80.000 1.338
29 21 1 79.000 1.216
30 22 1 78.000 1.106
31 23 1 77.000 1.005
32 24 1 76.000 0.914
33 25 1 75.000 0.831
34 26 1 74.000 0.75514908
35 27 1 73.000 0.68649916
36 28 1 72.000 0.62409015
37 29 1 71.000 0.56735468
38 30 1 70.000 0.51577689
39 31 1 69.000 0.46888816
40 32 1 68.000 0.42626197
41 33 1 67.000 0.38751088
Tampilan 4.8. Spreadsheet 3, inisiasi ekstraksi pada pasar monopoli
yakni sekitar 4,7 ton atau sekitar setengah dari kompetitif. Hal ini sesuai dengan prediksi yang telah dikemukakan secara teoritis di bagian terdahulu. Perbandingan kedua ekstraksi tersebut dalam contoh ini dapat dilihat pada Tampilan 4.11.

Kebijakan Ekonomi Terhadap Ekstraksi Sumber Daya Tidak Terbarukan

Ektraksi sumber daya tidak terbarukan memberikan manfaat ekonomi yang sangat signifikan bagi pelaku ektraksi. Keuntungan yang di peroleh dari usaha minyak, gas bumi, pertambangan, dan sejenisnya bisa menghasilkan jutaan dolar bagi pelaku usaha, sehingga sering terjadi apa yang disebut “Gold Rush” manakala deposit sumber saya ditemukan. Orang datang berduyun-duyun untuk mnegadu keuntungan, sehingga sering kota-kota besar seperti California, Amerika Serikat misalnya, tumbuh karena Gold Rush pada awal tahun 1900-an. Bagaimana kemudian pemerintah memperoleh manfaat dari ekstraksi sumber daya alam ini? Salah satu mekanisme yang biaa di gunakan adalah melalui mekanisme rent trnsfer (transfer rente) dengan memperlakukan pajak pada usaha pertambangan, misalnya. Pajak tersbut dapat berbentuk royalti maupun pajak per unit autput. Pada bagian ini kita akan mengulas dampak dari kedua instrumen ekonomi tersebut terhadap ekstraksi sumber daya alam tidak terbarukan. Untuk menganalisis dampak dari kedua instrumen tersebut, kita akan menggunakan kembali kerangka sederhana dari model Hotelling seperti telah diuraikan sebelumnya.
Secara sederhana dapat dikatakan bahwa jika pemerintah memlakukan royalti terhadap ekstraksi sumber daya, royalti tersebut tidak akan mempengaruhi pengambilan keputusan ari pelaku ekstraksi. Royalti akan mempengaruhi Present Value dari sumber daya yang sedang diekstraksi namun tidak akan mempengaruhi laju ekstraksi. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan prinsip Hotelling yang telah dikemukakan di atas.
Jika kita sederhana notasi harga bersih atau net price p_t-c sebagai π_t, jika royalti sebesar τ diberlakukan, prinsip Hotelling pada persamaan (4.27) menjadi :

(1 – τ)π_t = (1 – δ)t〖 π〗_0

Sehingga matematis, persamaan (4.27) tidak mengalami perubahan karena hukum Hotelling menghapuskan bahwa rente ekonomi setelah royalti harus meningkat sebesar δ seperti ditunjukan oleh persamaan di atas. Dengan demikian, royalti berdampak netral terhadap laju ekstraksi, namun royalti bisa menimbulkan disinsetif terhadap pelaku usaha untuk menemukan deposit baru karena akan mengurangi nilai harapan atas manfaat yang diperoleh dari deposit baru.
Bagaimana halnya dengan pajak per satuan autput/ jika pajak per satuan autput sebesar τ diberlakukan, rente atau net price setelah pajak menjadi.

π_t τ=(1-τ ) p_t – c

Sehingga formula Hotelling pada persamaan (4.27) berubah menjadi :

[(1- τ) p_t-c] = [(1-τ) p_(0 )-c](1 + δ)t

Atau dapat disederhanakan menjadi :
[p_(t )- c/(1- τ)]= [p_(0 )- c/(1- τ)](1 + δ)t

Jika kita ingin kembali bahwa tanpa pajak rente ekonomi hanya dedifinisikan sebagai p_t – c, karena c /(1 – τ) > c hal ini berimplikasi bahwa pajak per satuan autput menyebakan meningkatnya biaya ekstraksi sehingga akan memperpanjang laju ekstraksi. Dampak terhadap kenaikan biaya ekstraksi tersebut terhadap laju ekstraksi dapatt dilihat pada tampilan 4.12 berikut ini.

Kenaikan biaya ekstrajsi yang diakibatkan oleh pemberlakuan pajak mengakibatkan penggeseran kurva biaya dari c ke c + t pada tampilan panel a. Kenaikan biaya ini menyebabkan penurunan rente ekonomi (net price) dari kondisi sebelumnya pajak. Oleh karena discount rate tidak berubah, hukum Hotelling mengharuskan rente ekonomi tetap tumbuh sebesar δ (sama dengan kondisi sebelumnya kenaikan harga) yang mengakibatkan net price dan harga autput akan berada dalam kondisi lebih rendah setiap waktu. Namun, jika harga autput bergerak rendah sepanjang waktu berdasarkan kurva permintaan, ekstraksi akan terjadi secara lebih banyak karena jumlah yang diminta akan meningkat jika harga rendah. Akibatnya, cadangan akan habis terkuras sebelum choke price tercapai. Kondisi ini tentu saja tidak optimal karena kondisi ekstraksi optimal mengharuskan permintaan nol pada saat cadangan habis. Oleh karenanya, ekstraksi optimal mengharuskan price path pada panel a lebih tinggi dari kondisi sebelumnya (kurva dengan garis terputus), sehingga cadangan akan diektrasi lebih sedikit sebagaimana ditunjukkan pada tampilan panel d.
Selain pajak, pemerintah dapat saja memberikan subsidi untuk meningkatkan produksi dari sumber daya alam tersebut. Karena subsidi merupakan kebalikan dari pajak (negative tax), mekanisme analisis dampak dari subsidi terhadap ekstraksi optimal sama dengan mekanisme pada pajak, hanya tanda negatif berubah menjadi tanda positif, dari (1 - τ ) menjadi (1 + σ ) , di mana σ adalah tingkat subsidi yang diberikan oleh pemerintah. Oleh karena mekanismenya berlawanan arah, dampak subsidi per satuan aut put misalnya, akan sama dengan pengurangan biaya ekstraksi. Penurunan biaya akan mempercepat ekstraksi sehingga memperpendek waktu tercapai berhentinya ekstraksi ( complete exbaustion).

Model Ekstraksi Optimal Dengan Biaya Ekstraksi Non-Linier
Model ekstraksi sumber daya tidak terbarukan yang telah kita bahas sebelumnya dibangun atas dasar struktur pasar, dimana biaya ekstraksi diabaikan atau linier terhadap jumlah ekstraksi. Asumsi ini tentu saja tidak begitu realistis karena biaya variabel atau biaya tetap di anggap hilang (sunk cost). Namun demikian , asumsi ini pada tahap awal di perlukan untuk memudahkan kita memahami model dasar ekstraksi optimal sumber daya alam tidak terbarukan. Pada bagian ini, kita akan mengembangkan model ekstraksi optimal, dimana biaya ekstraksi bersifat tidak linier dan tergantung pada jumlah yang ekstraksi (q) dan juga stok sumber daya (S) atau secara matematis ditulis C (q,S). Dengan menggunakan notasi subscriput) untuk menunjukan fungsi turunan (derivative), kita asumsikan fungsi biaya tersebut memiliki karakteristik turunan kedua (second derivative) tehadap output (q) positif atau Cqq>0 dan turunan pertama (first derivateve) terhadap stok negatif ( Cs), yang berarti bahwa biaya ekstraksi meningkat terhadap jumlah yang diesktraksi, namun menurun terhaadp jumlah stok (semakin banyak stok semakin sedikit biaya ekstraksi). Struktur biaya tersebut digambarkan pada Tampilan 4.13.
Dengan struktur biaya tersebut, fungsi keuntungan atau rente ekonomi dari sumber daya dapat di tulis sebagai :
π_t = p_t q_t - C (q_t, S_t)

Sehingga masalah yang di hadapi oleh pemilik sumber daya menjadi :

Max ∑_(t=0)^T▒p^t [p_t q_t- C ( q_t,S_t)]

Dengan kendala
S_(t+1 ) - S_t = -q_t
S_0 ≥ 0, S_t≥ 0

Perencanan permasalahan di atas dapat dilakukan dengan menggunakan teknik Lagrngian sebagaimana ekstraksi multiperiode yang telah di bahas di muka (persamaan (4.23)), sehingga Lagrangian dari masalah dia tas di tulis sebagai :
L = ∑_(t=0)^T▒p^t [p_t q_t- C(q_t,S_t )+ p^(λ_(t=1) ) (- q_t+ S_t- S_(t+1) )] (4.42)
Syarat keharusan (necessary condition) dari persamaan di atas adalah :

∂L/(∂q_t ) = p^t [p_t- C_q (q_t ,S_t )- p^(λ_(t+1 ) ) ]= 0 (4.43)
∂L/(∂S_t ) = p^t (C_s (q_t ,S_t ) + p^(λ_(t+1 ) ) ) = 0 (4.44)
∂L/(∂(p^(λ_(t+1) ) )) = p^t [- q_t+S_t - S_(t+1) ] = 0 (4.45)

Karena Komponen pertama persamaan (4.43) sampai (4.45) mengandung pt, dengan membagi sebelah kanan persamaan dengan pt akan dihasilkan:

pλ_(t+1)=p_t-C_q (q_(t,) S_t )=0 (4.46)

λ_t=(1+δ)[p_(t-1)-C_q (q_t,S_t )] (4.47)

pλ_(t+1)-λ_t= C_S (q_t,S_t ) (4.48)

Dengan mensubstitusikan pλt+1 dan λt dari persamaan (4.46), (4.47) dan (4.48), maka diperoleh:

[p_t-C_q (q_t,S_t )]-(1+δ)[p_(t-1)-C_q (q_t,S_t )]=C_s (q_t,S_t )

Dengan sedikit manipulasi aljabar, persamaan di atas dapat lebih disederhanakan menjadi hukum Hotelling yang dimodifikasi (modified Hotelling rule) sehingga menjadi:

([p_t-C_q (q_t,S_t )]-[p_(t-1)-C_q (q_t,S_t )])/[p_(t-1)-C_q (q_(t,) S_t )] =δ+(C_s (q_t,S_t ))/[p_(t-1)-C_q (q_t,S_t )] (4.49)

Jika kita bandingkan persamaan (4.49) di atas dengan persamaan (4.28), kedua persamaan tersebut mirip. Yang membedakannya adalah persamaan dibuat dalam kurun waktu t dan t – 1 serta adanya komponen tambahan di sebelah kanan discount rate (δ). Hal ini berarti bahwa, jika biaya ekstraksi bersifat non-linier dan tergantung pada jumlah ekstraksi dan stok sumber daya, hukum Hotelling mengatakan bahwa ekstraksi optimal terjadi manakala rente sumber daya meningkat lebih rendah daripada discount rate. Dalam situasi seperti ini struktur biaya yang eksplisit serta seberapa besar stok tersedia akan menentukan seberapa lama industri beroperasi.

Penutup
Sumber daya tidak terbarukan merupakan salah satu topik yang sejak awal abad ke-20 sudah menjadi perhatian ahli ekonomi untuk dianalisis tingkat deplesinya. Bab ini menyajikan analisis ekonomi sumber daya tidak terbarukan, dimulai dengan model sederhana sampai struktur pasar yang berbeda. Bab ini juga menyajikan kondisi ekstraksi yang optimal pada saat biaya ekstraksi tidak bersifat linier. Tidak dipungkiri bahwa pengelolaan sumber daya tidak terbarukan untuk keperluan energi, misalnya menyangkut struktur pasar yang cukup kompleks dan dengan tingkat teknologi yang tinggi. Oleh karenanya, model-model ekonomi yang mengakomodasi kompleksitas tersebut pun kini sudah banyak dikembangkan. Namun, dengan mengetahui prinsip-prinsip dasar yang ada dalam buku ini, kelak pembaca akan lebih familiar jika dihadapkan pada model yang lebih kompleks.

sumber http://www.emakalah.com/2013/04/model-ekonomi-sumber-daya-tidak.html